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单摆法测重力加速度实验报告

2025-03-29

大雾

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用MinerU的PDF转Markdown的，有错懒得改了

单摆法测重力加速度实验报告#

姓名：ALiN澪,† and 学号：PB2402****,‡

中国科学技术大学物理学院

摘要#

本文采用单摆法测量了合肥的重力加速度，在1%的测量精度要求下利用不确定度分析对实验方案进行了设计，通过对周期的累积放大提高了测量精度。最终测得合肥的重力加速度为 $\boldsymbol { \vartheta } . 8 6 2 \boldsymbol { \mathrm { m } } / \boldsymbol { \mathsf { s } } ^ { 2 }$ (注：Tracker的结果为 $9 . 8 0 3 \mathrm { m } / \mathsf { s } ^ { 2 }$ )，其标准不确定度为 $0 . 0 8 4 \mathsf { m } / \mathsf { s } ^ { 2 }$ 满足实验的测量精度要求。调节单摆的摆长，测量了周期??随摆长??的变化，对??与 $T ^ { 2 }$ 的关系进行了线性拟合，求得了重力加速度。还通过视频追踪分析了大摆角情况下单摆的运动轨迹。

关键词: 单摆；重力加速度；不确定度分析；累计放大；Tracker视频追踪

1. 引言#

单摆实验是一个经典实验，许多著名的物理学家如伽利略、牛顿、惠更斯等都对单摆实验进行过细致的研究。伽利略发现了摆的等时性原理，指出摆的周期与摆长的平方根成正比，而与摆的质量和材料无关，为后来摆钟的设计与制造奠定了基础。1673年荷兰科学家惠更斯制造的惠更斯摆钟就运用了摆的等时性原理。摆的等时性原理应用于时钟上，作为稳定的“定时器”，使机械钟能够指示出“秒”，从而将计时精度提高了近100倍。现在国际上采用铯原子的跃迁周期作为计时标准，由中国计量科学研究院研制的NIM6铯原子钟，其不确定度优于 $5 . 8 \times 1 0 ^ { - 1 6 }$ ，相当于5400万年不差一秒。

2. 实验仪器与实验原理#

2.1. 实验仪器#

卷尺、游标卡尺、千分尺、电子秒表、单摆（带标尺、平面镜，摆线长度可以调整）

图 1. 单摆测重力加速度实验装置

各测量仪器的最大允差如下：#

• 游标卡尺 $\Delta _ { \mathrm { * } } \approx 0 . 0 0 2 \mathrm { c m }$ ；

• 千分尺 $\Delta _ { \mp } \approx 0 . 0 0 1 \mathrm { c m }$ ；

• 秒表 $\Delta _ { \# \Downarrow } \approx 0 . 0 5 \mathrm { s }$

用钢卷尺测量单摆摆长时难以将被测物两端与测量仪器的刻线对齐，作为保守估计，一般可取不确定度 $\Delta _ { \mathrm { B } } \approx 0 . 0 2 \mathrm { c m }$ ；根据统计分析，实验人员开启或停止秒表的反应时间为 $_ { 0 . 1 s }$ 左右，所以实验人员测量时间的不确定度近似为 $\Delta _ { \mathscr { L } } \approx 0 . 2 \mathrm { s }$ 。开始实验前，应调节螺栓使立柱竖直，并调节标尺高度，使其上沿中点距悬挂点 $5 0 \mathrm { c m }$ 。

2.2. 实验原理#

理想的单摆，是一根没有质量、没有弹性的线，系住一个没有体积的质点，在真空中由于重力作用而在与地面垂直的平面内做摆角趋于零的自由振动。这种理想的单摆，实际上是不存在的。在实际的单摆实验中，悬线是一根有质量（弹性很小）的线，摆球是有质量有体积的刚性小球，摆角不为零，摆球的运动还受到空气的影响。

单摆的周期公式为：

T = 2 \pi \sqrt {\frac {l}{g} \left[ 1 + \frac {d ^ {2}}{2 0 l ^ {2}} - \frac {m _ {0}}{1 2 m} \left(1 + \frac {d}{2 l} + \frac {m _ {0}}{m}\right) + \frac {\rho_ {0}}{2 \rho} + \frac {\theta^ {2}}{1 6} \right]} (1)

式中 $T$ 是单摆的周期， $l$ 、 $m _ { 0 }$ 是单摆摆线的长度和质量， $l$ 、 $m$ 、 $\rho$ 是摆球的直径、质量和密度， $\rho _ { 0 }$ 是空气密度， $\boldsymbol { \theta }$ 是摆角。一般情况下，摆球几何形状、摆线的质量、空气浮力、摆角（ $\theta < 5 ^ { \circ }$ ）对 $T$ 的修正都小于 $1 0 ^ { - 3 }$ 。若实验精度要求在 $1 0 ^ { - 3 }$ 以内，则这些修正项都可以忽略不计，反之，则这些因素不可忽略。

在一级近似下，单摆周期公式为：

T = 2 \pi \sqrt {\frac {l}{g}}

变形，得：

g = 4 \pi^ {2} \frac {l}{T ^ {2}} \tag {2}

通过测量周期??、摆长?? 可求出重力加速度??。

2.3. 不确定度分析#

摆长 $l$ 的不确定度：

计算方差

s ^ {2} (l) = \frac {1}{n - 1} \sum_ {i = 1} ^ {n} \left(l _ {i} - \bar {l}\right) ^ {2}

因此，摆长 $l$ 的A类不确定度

u _ {A} (l) = \sqrt {\frac {s ^ {2} (l)}{n}} = \sqrt {\frac {\sum_ {i = 1} ^ {n} \left(l _ {i} - \bar {l}\right) ^ {2}}{n \times (n - 1)}} \tag {3}

由于使用钢卷尺测量，那么 ?? 的质量指标的概率密度分布为高斯函数。用钢卷尺测量单摆摆长时难以将被测物两端与测量仪器的刻线对齐，作为保守估计，一般可取不确定度 $\Delta _ { B } \approx 0 . 0 2 \mathrm { c m }$ ，有

u _ {B 1} (l) = \frac {\Delta_ {B}}{3}

通过查阅常用仪器量具的主要技术要求和最大允差可知，量程为 $2 \mathrm { m }$ ，最小分度值为 $1 \mathrm { m m }$ 的钢卷尺的最大允差为 $a = \pm 1 . 2 \mathrm { m m } =$ $\pm 0 . 1 2 \mathrm { m }$ 。所以，

u _ {B 2} (l) = \frac {a}{3}

因此，摆长?? 的B类不确定度

u _ {B} (l) = \sqrt {u _ {B 1} ^ {2} (l) + u _ {B 2} ^ {2} (l)} = \sqrt {\left(\frac {0 . 0 2}{3}\right) ^ {2} + \left(\frac {0 . 1 2}{3}\right) ^ {2}} \approx 0. 0 4 0 \mathrm {c m}

所以，?? 的不确定度以如下公式合成

u (l) = \sqrt {u _ {A} ^ {2} (l) + u _ {B} ^ {2} (l)} \tag {4}

周期 $T$ 的不确定度：

计算方差

s ^ {2} (T) = \frac {1}{n - 1} \sum_ {i = 1} ^ {n} \left(T _ {i} - \bar {T}\right) ^ {2}

因此，周期 $T$ 的A类不确定度

u _ {A} (T) = \sqrt {\frac {s ^ {2} (T)}{n}} = \sqrt {\frac {\sum_ {i = 1} ^ {n} \left(T _ {i} - \bar {T}\right) ^ {2}}{n \times (n - 1)}} \tag {5}

已知秒表的最大允差 $\Delta _ { \# \mathrm { b } } \approx 0 . 0 5 \mathrm { s }$ ，实验人员测量时间的不确定度近似为 $\Delta _ { \mathscr { r } } \approx 0 . 2 \mathrm { s }$ ，并且由于使用秒表测量，那么 $T$ 的质量指标的概率密度分布为高斯函数。因此

u _ {B 1} (T) = \frac {\Delta_ {\mathrm {秒}}}{3}

u _ {B 2} (T) = \frac {\Delta_ {\text {人}}}{3}

因此， $T$ 的B类不确定度

\begin{array}{l} u _ {B} (T) = \sqrt {\left(\frac {u _ {B 1} (T)}{m}\right) ^ {2} + \left(\frac {u _ {B 2} (T)}{m}\right) ^ {2}} \\ = \sqrt {\left(\frac {0 . 0 5}{3 \times 3 0}\right) ^ {2} + \left(\frac {0 . 2}{3 \times 3 0}\right) ^ {2}} \approx 0. 0 0 2 3 \mathrm {s} \\ \end{array}

所以， $T$ 的不确定度以如下公式合成

u (T) = \sqrt {u _ {A} ^ {2} (T) + u _ {B} ^ {2} (T)} \tag {6}

重力加速度的标准不确定度：

将 ?? 和 $T$ 的测量值代入公式（2），得重力加速度?? 的测量结果

g = 4 \pi^ {2} \frac {l}{T ^ {2}}

综上， $g$ 的标准不确定度以如下公式合成

u (g) = g \sqrt {\left(\frac {u (l)}{l}\right) ^ {2} + \left(2 \frac {u (T)}{T}\right) ^ {2}} \tag {7}

3. 实验内容#

根据所设计的方案测量单摆的摆长和周期，要求摆长和周期分别重复测量6次。计算当地的重力加速度及其标准不确定度。
调节单摆的摆长，测量摆长??与周期??之间的关系。要求测量6个不同的摆长。做出??与周期??之间的关系图，并用最小二乘法拟合斜率，求出重力加速度。
利用智能手机录制单摆视频。用视频追踪技术（Tracker）获取单摆的运动轨迹，研究大摆角 $( > 5 ^ { \circ }$ ）条件下单摆的运动规律。对运动轨迹数据进行拟合分析。

4. 实验过程#

4.1. 实验一#

4.1.1. 实验操作#

用钢卷尺测量小球球心到摆线悬点的距离作为摆长??，共测量 $n =$ 6次，取测量结果

l = \frac {1}{n} \sum_ {i = 1} ^ {n} l _ {i}

采用累计放大法减小周期测量的测量误差，测量单摆做 $m = 3 0$ 次全振动的时间 $t _ { \check { \perp } , i }$ ，每次测量的周期为

T _ {i} = \frac {1}{m} t _ {\text {总} i}

重复测量 $n = 6$ 次，得到单摆周期的测量结果

T = \frac {1}{n} \sum_ {i = 1} ^ {n} T _ {i}

Table 1. 单摆摆长和周期的测量数据

序号	摆长l/cm	30T/s	T/s
1	66.60	49.33	1.6443
2	67.12	49.36	1.6453
3	66.68	49.26	1.6420
4	66.98	49.33	1.6443
5	66.85	49.20	1.6400
6	67.14	49.22	1.6407
平均	66.90	49.28	1.6428

4.1.2. 实验结果与数据分析#

根据理想单摆周期公式可得到重力加速度g的测量模型,将测量得到的周期和摆长估计值代入后计算得:

g = 4 \pi^ {2} \frac {l}{T ^ {2}} = 4 \times 3. 1 4 1 6 ^ {2} \times \frac {0 . 6 6 9 0}{1 . 6 4 2 8 ^ {2}} = 9. 7 8 6 3 m / s ^ {2}

将数据带入公式(3)(4)(5)(6)(7)可求得

摆长??的A类不确定度

u _ {A} (l) = \sqrt {\frac {\sum_ {i = 1} ^ {n} \left(l _ {i} - \bar {l}\right) ^ {2}}{n \times (n - 1)}} = 0. 0 9 c m

周期??的A类不确定度

u _ {A} (T) = \sqrt {\frac {\sum_ {i = 1} ^ {n} (T _ {i} - \bar {T}) ^ {2}}{n \times (n - 1)}} = 8 \times 1 0 ^ {- 4} s

由此可得

摆长??的不确定度

u (l) = \sqrt {u _ {A} ^ {2} (l) + u _ {B} ^ {2} (l)} = \sqrt {0 . 0 9 ^ {2} + 0 . 0 4 ^ {2}} = 0. 0 9 8 c m

周期??的不确定度

u (T) = \sqrt {u _ {B} ^ {2} (T) + u _ {B} ^ {2} (T)} = \sqrt {0 . 0 0 0 8 ^ {2} + 0 . 0 0 2 3 ^ {2}} = 2. 4 4 \times 1 0 ^ {- 3} s

以及重力加速度??的不确定度

\begin{array}{l} u (g) = g \sqrt {\left(\frac {u (l)}{l}\right) ^ {2} + \left(2 \frac {u (T)}{T}\right) ^ {2}} \\ = 9. 7 8 6 3 \times \sqrt {\left(\frac {0 . 0 9 8}{6 6 . 9 0}\right) ^ {2} + \left(2 \times \frac {2 . 4 4 \times 1 0 ^ {- 3}}{1 . 6 4 2 8}\right) ^ {2}} \\ = 0. 0 3 2 4 \\ \end{array}

可算得 $\frac { u ( g ) } { g } = \frac { 0 . 0 3 2 4 } { 9 . 7 8 6 3 } = 3 \times 1 0 ^ { - 3 } = 0 . 3 \% < 1 \%$

满足实验精度要求

4.2. 实验二#

4.2.1. 实验操作#

调节单摆的摆长，测量并记录不同摆长??与对应30倍周期30??，计算出??、 $T ^ { 2 }$ 。
使用MATLAB对??和 $T ^ { 2 }$ 进行正比例关系拟合，即

l = k T ^ {2}

Table 2. 单摆不同摆长和周期的测量数据

序号	摆长 l/cm	30T/s	T/s	T²/s²
1	64.25	48.24	1.6080	2.5857
2	69.97	50.42	1.6807	2.8248
3	66.03	49.03	1.6343	2.6709
4	66.89	49.10	1.6367	2.6788
5	66.20	48.93	1.6310	2.6601
6	71.42	50.92	1.6973	2.8808

图 2. 正比例拟合曲线

自定义曲线拟合#

f (x) = k ^ {*} x

系数和 $9 5 \%$ 置信边界

	值	下限	上限
k	24.8291	24.7361	24.9220

拟合优度

	值
SSE	0.2897
R方	0.9920
DFE	5.0000
调整R方	0.9920
RMSE	0.2407

图 3. 斜率和相关系数

得到 $k = 2 4 . 8 3 , r = 0 . 9 9 2 0 \AA$ 。
由于

g = 4 \pi^ {2} \frac {l}{T ^ {2}}

变形可得

l = \frac {g}{4 \pi^ {2}} T ^ {2}

因此

g = 4 \pi^ {2} k = 9 8 0. 2 4 c m / s ^ {2} = 9. 8 0 2 4 m / s ^ {2}

4.3. 实验三#

4.3.1. 实验操作#

将手机固定在实验室提供的手机支架上，录制了一段帧率为60PS的大角度单摆（摆角约为 $1 0 ^ { \circ }$ ）视频，并使用tracker软件

进行自动追踪分析。Tracker从该视频中获取有效数据点1656个，并导入origin进行正弦三角函数拟合。

图 4. Tracker软件对单摆视频进行自动追踪分析

4.3.2. 数据分析#

图5中黑色的点为追踪所获取到的轨迹数据点，红线为拟合后的正弦函数曲线。拟合结果给出单摆的摆动周期??为1.6981s。利用卷尺测得的单摆摆长为 $0 . 7 1 3 4 \mathrm { m }$ 。带入未修正的单摆测重力加速度的公式可得：

g = 4 \pi^ {2} \frac {l}{T ^ {2}} = 9. 7 6 7 m / s ^ {2}

如果考虑大摆角的修正，则重力加速度为：

g = \frac {4 \pi^ {2} l}{T ^ {2}} \left(1 + \frac {1}{4} \sin^ {2} \left(\frac {\theta}{2}\right)\right) ^ {2} = 9. 8 0 4 m / s ^ {2}

可看到修正后的结果与合肥的重力加速度参考值 $9 . 7 9 5 m / s ^ { 2 }$ 更加接近。

图 5. 单摆水平方向运动轨迹数据及拟合结果

5. 结论#

本文基于单摆实验装置利用三种不同的方案测量了合肥的重力加速度，测量结果分别为： $9 . 7 8 6 m / s ^ { 2 } , 9 . 8 0 2 m / s ^ { 2 } , 9 . 8 0 4 m / s ^ { 2 }$ ,与参考值 $9 . 7 9 5 m / s ^ { 2 }$ 的偏差均小于 $1 \%$ 。

参考文献#

[1]. 单摆法测重力加速度. 实验讲义. 2025

[2]. 舒幼生. 力学[M]. 北京：北京大学，2005.

[3]. 邵云. 单摆周期的系统误差分析[J]. 大学物理, 2022, 41(01): 32-38.

附录：包含签字的实验原始数据#

被吃了

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单摆法测重力加速度实验报告

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作者

ALiN澪

发布于

2025-03-29

许可协议

CC BY-NC-SA 4.0

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澪の屋

单摆法测重力加速度实验报告#

摘要#

1. 引言#

2. 实验仪器与实验原理#

2.1. 实验仪器#

各测量仪器的最大允差如下：#

2.2. 实验原理#

2.3. 不确定度分析#

3. 实验内容#

4. 实验过程#

4.1. 实验一#

4.1.1. 实验操作#

4.1.2. 实验结果与数据分析#

4.2. 实验二#

4.2.1. 实验操作#

自定义曲线拟合#

4.3. 实验三#

4.3.1. 实验操作#

4.3.2. 数据分析#

5. 结论#

参考文献#

附录：包含签字的实验原始数据#

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